∞⁰ = ∞, 1 או לא מוגדר. איזה זה?

לפני מספר ימים כתבתי מאמר על סיכום ראמאנוג'אן, שכדי לקצץ סיפור ארוך הוא סדרה מתמטית שנראית משהו כזה:

אם אתה רוצה לקרוא את המאמר, לחץ כאן. אני מוכיח עובדה זו במאמר יחד עם שתי משוואות מעניינות לא פחות. כאן למעשה נתקלתי ברעיון של המאמר הזה. לאחר שפרסמתי את סיכום ראמאנוג'אן, קיבלתי הערה על השימוש שלי בסמכותיות של מערך אינסופי. Commutativity הוא הרעיון שאם יש לך 1 + 2 + 3, סדר מחדש את התנאים לא משנה את התוצאה. אז 1 + 2 + 3 = 1 + 3 + 2, אתה יכול אבל המונחים בכל סדר והתשובה יהיו תמיד 6. אני משתמש במאפיין הזה כדי להוכיח את המשוואה לעיל במאמר השני שלי, אבל forceOfHabit העלה עניין מעניין נקודה, האם זה חל על סדרת אינסוף של מספרים?

"ברור מאליו באופן אינטואיטיבי שיש כפליים מספרים שלמים חיוביים מאשר מספרים שלמים אפילו חיוביים. אבל אם ניקח את רצף המספרים השלמים החיוביים ונכפיל את כולם ב- 2 נקבל את הרצף של מספרים שלמים אפילו חיוביים. אך הכפלת כל חבר ברצף ב -2 לא משנה את מספר החברים. אז יש בדיוק אותו מספר של מספרים שלמים חיוביים כמו אפילו מספרים שלמים חיוביים. אז מה זה? כפליים או מספר זהה? " - ForceOfHabit

ובכנות, לא ידעתי את התשובה לכך. אבל זה הביא את העניין שלי, אז החלטתי לחקור אותו קצת יותר. ירדתי בתולעת בוויקיפדיה דרך ענפים שונים במתמטיקה, למדתי כמה עובדות מעניינות לאורך הדרך, ובסופו של דבר הייתי בקרדינליות. קרדינליות עוסקת בסטים וככה היית מתאר את מספר האלמנטים בסט. לדוגמה, לסט {1,2,3} יש 3 אלמנטים או קרדינליות של 3.

בעזרת קרדינליות אנו יכולים להתחיל לתפוס את השאלות שלמעלה. חקרתי מעט יותר ומצאתי חלק מעניין בקרדינליות שנקראת Cardinal Arithmetic שהם פעולות חשבון שניתן לבצע על מספרים קרדינליים שמכללות את הפעולות הרגילות למספרים טבעיים. אם לנסח זאת במונחי לאמנס, הם קבוצה מיוחדת של פעולות שעובדות במיוחד עבור מספרים קרדינליים, לכל אחד ההגדרה שלהם. לדוגמה, אם יש לך שני מערכות A ו- B עם קרדינליות 3 ו -4 בהתאמה, אנו מציינים זאת כ- A | = 3 ו- | B | = 4. ואז | A | + | B | = | A ∪ B |. כמובן שזה זהה רק להוסיף ערכים מספריים של | A | ו- | B |, העובדה שהיא מוגדרת כך מראה כיצד יש פעולות חשבון שניתן ליצור עבור סטים ספציפיים (בתנאי שהפעולה עומדת בקריטריונים מסוימים).

בעזרת חשבון אדימי, הוכח שלא רק שמספר הנקודות בשורת המספרים האמיתיים שווה למספר הנקודות בכל קטע באותה קו. זה נשמע מאוד אינטואיטיבי-נגד, אבל שוב, כך גם השאלה למעלה, וזו הסיבה שאני אוהבת לחשוב שהם דומים. ברור שמדובר בשום אופן לא הוכחה רשמית ואף לא תקפה, אך הייתי אומר שאם אתה מחשיב אותם באותה מובן, התשובה לשאלה של forceOfHabit היא אפשרות ב; אותו מספר של מספרים שלמים.

אבל מצד שני, יכול להיות שאני טועה לחלוטין, וזו המבוכה של האינסוף. יש כל כך הרבה שלא ידוע על זה כי זה רק מושג. אין דרך למדוד את האינסוף מכיוון שההגדרה היא בלתי ניתנת לאבחנה וזה כשלעצמו מושג קשה לעטוף את הראש. אני חושב שהפרופסור למתמטיקה בשנה הראשונה שלי סיכם את האינסוף די טוב: "אני שונא אינסוף. זה לא מספר, אבל אנחנו מתייחסים אליו כאל אחד, אבל לא כדאי לנו. זה מושג, לא ערך מתמטי, כך שאם מישהו מכם ישתמש בו ככזה, תוכלו באותה מידה להפיל את הקורס! "

עכשיו למספר החביב עלי בכל העולם. אתה שואל מישהו מה המספר המועדף עליהם (אחרי שנגמר להם שיחות חולין כמובן על מזג האוויר), והם בטח יגידו משהו שקשור ליום הולדת או למספר מזל שהם מאמינים בו. אבל תשאלו אותי, ואני אגיד לך 0. זה לא מספר מזל, וגם לא יום הולדת או יום נישואים, אבל זה ללא ספק הכי מעניין אותי.

בתור התחלה, יש לזה ערך, אך אין ערך. אם אתה מוסיף אותו למספר אחר, הוא נשאר זהה. הפח אותו, נשאר אותו הדבר. אבל כשאתה מכפיל את זה, אתה מקבל 0, לא משנה מה תכפיל אותו.

1 x 0? 0.

123456789876543212345678987654321 x 0? 0.

וכשמחלקים את זה, אתה מקבל 0 ללא קשר למכנה זה (מספר 1 בסרגל, שמור על כך). 0/1234 הוא עדיין אפס

אבל כשאתה צולל באפס, אתה מקבל דברים ממש מטורפים. אני מדבר על כדורים משתמטים ברמת המטריצה. כל מי שלמד שיעור אלגברה יודע שאנחנו לא יכולים לחלק באפס, כי זה לא מוגדר. אנו מסווגים את זה כלא מוגדר מכיוון שאם אתה מנסה לחלק 6 באפס, זה מקביל לשאלת השאלה "איזה מספר פעמים 0 שווה לשש?" אנו יודעים ששום מספר אינו קיים כדי לספק זאת, ולכן חלוקה באפס אינה פועלת לפי כללי החלוקה הרגילים. מכאן שאנו מתעלמים מכך. אבל, אם נשכח את הכלל לרגע, חלוקה באפס יכולה להפוך לכלי מסודר מאוד 'להוכיח' דברים מגוחכים לחלוטין. לדוגמה:

תן a = b. לאחר מכן
a² = ab
a² + a² = a² + ab
2a² - 2ab = a² + ab - 2ab
2 (a² - ab) = 1 (a² - ab) # כאן מתרחש שלב מאגי
2 = 1

הנה, אני רק הוכחתי ש -2 = 1 ושברתי מתמטיקה! הסיבה שזה עובד היא בגלל הצעד הקסום, מחלק את שני הצדדים ב- a² - ab, אבל אם מסתכלים על האמירה המקורית, a = b, כך a² = ab, במילים אחרות a² - ab = 0. זה חלוקה על ידי אפס, שאינו מוגדר מסיבה מדויקת זו. זו גם הסיבה שמתמטיקאים נמנעים ממנה כמו המגיפה.

למרבה המזל זו בעצם האפשרות השלישית. יכולתי לעבור איך כשהוא בצורה של גבול, זו צורה בלתי מוגדרת, אבל אני חושב שחבר ידוע מאפל מתאר זאת בצורה הטובה ביותר:

"דמיין שיש לך 0 עוגיות וחילקת אותן באופן שווה בין 0 חברים. כמה עוגיות מקבל כל אדם? ראה, זה לא הגיוני. ומפלצת העוגיות עצובה שאין עוגיות. ואתה עצוב שאין לך חברים. " - סירי (באמת, נסה לשאול את סירי "מה ה- 0 מחולק ב- 0?")

שאלה מורכבת יותר הכוללת אפס, מה זה 0⁰? ובכן, בהגדרה, אם יש לך כוח של b, אז התוצאה הייתה מוכפלת על ידי עצמה b מספר פעמים. אז זה בטח אפס נכון? מכיוון שכל מספר כפול אפס הוא אפס. אבל אנו גם יודעים ש a⁰ = 1 (לכל a 0), אז אולי זה צריך להיות 1? או שמא צריך להיות מוגדר כמו חלוקה ב- 0? זה עבר דיונים ארוכים במתמטיקה, ויש טיעונים לשני הצדדים מה צריכה להיות התשובה האמיתית. יש כאן אתר מעניין שנותן טיעונים לשני הצדדים, אך העיקריים הם כדלקמן: בצד 0⁰ צריך להיות מוגדר בצד, יש לנו:

  1. אנו יודעים a⁰ = 1 (לכל a 0), אך a⁰ = 1 (לכולם a> 0). משמעות סתירה זו יש להגדיר את ההגדרה 0⁰

בצד 0⁰ = 1, יש לנו:

  1. כדי שהמשפט הבינומי יחזיק ל- x = 0, אנו זקוקים ל- 0 = 1
  2. 0⁰ מייצג את המוצר הריק (מספר הסטים של 0 אלמנטים שניתן לבחור מתוך קבוצה של 0 אלמנטים), אשר מעצם הגדרתם הוא 1 (זו גם אותה הסיבה מדוע כל דבר אחר שיעלה לכוח של 0 הוא 1).

אז מה התשובה? ובכן, אין לנו עדיין תשובה קונקרטית. רוב האנשים היו מסכימים שזה לא מוגדר (מכיוון ש x ^ y כפונקציה של שני משתנים אינו רציף במקור). אבל לשני הצדדים יש טיעונים תקפים, ועד שמישהו יכול להעלות הוכחה קונקרטית הטוענת כזו או אחרת, ממש אי אפשר לטעון אם אחד מהם נכון.

עכשיו אתה אולי תוהה מה יקרה אם תשלב בין השניים. מה זה ∞ x 0? מה דעתך על ∞⁰? ובכן הבעיה חוזרת לאינסוף, בכך שהיא רק מושג. אין דרך למדוד את זה, אינך יכול לקבל מספר אינסופי של דובי חניכיים או כמות אינסופית של גלידה (אם כי אני בטוח שכולנו היינו רוצים שנוכל).

רוב הזמן התשובה אינה מוגדרת. כל אלה דוגמאות לשאלות שאין להן תשובה, מכיוון שאנחנו לא יכולים לתת ערך משמעותי למושג כמו אינסוף. כמובן שיש יוצא מן הכלל המוזר, כמו 0 ^ ∞, שיש לו ערך של 0. אם לוקחים את המגבלה של 0 ^ n כפי ש- נוטה לאינסוף, הוא אפס. אבל אלה מקרים נדירים, וגם אז 0 ^ ∞ טכנית עדיין לא שווה ל 0, זה פשוט מתקרב מאוד מאוד אליו.

אז אתה מבין, אינסוף הוא דבר מאוד מעניין מכיוון שהוא כל כך מוחשי וכל כך מופשט בו זמנית. אתה רואה את זה כל הזמן בספרי לימוד ומשוואות מתמטיים, אך עדיין אין לנו הגדרה או ערך קונקרטי למה שהוא.

אפס פשוט מדהים כיוון שהוא עושה את הדבר שלו. לפעמים הוא אוהב לשחק לפי הכללים, לפעמים הוא עושה את הדבר שלו, ולפעמים הוא נועל את עצמו בחדר ומסרב לשתף פעולה עם מישהו.

לשניהם תכונות גואלות משלהם, שהן שימושיות מאוד בתחום המתמטיקה. יש להם גם מוזרויות משלהם, שיכולים להיות מועילים ולפעמים, וכאב בעכבר אצל אחרים. אבל למרות שזו רק אחת מעובדות החיים, זו המבוכה של האינסוף והאפס.