10 רגעים מביכים בהיסטוריה של מתמטיקה

כולנו חווינו את הרגעים המביכים שלנו. קורה משהו לא צפוי, יש מעט מתח חברתי ואי נוחות אישית והיית ממש רוצה להתגבר על זה או לשכוח שזה קרה אי פעם. אבל מה אם אתה מתמטיקאי קפדני ופשוט תביע את עולמך?

מתמטיקה תמיד עסקה במרדף אחר הבנת העולם באמצעות היגיון וביטויו בשפה מתמטית מוגדרת בקפדנות. זה באמת מעיד, חינוכי וכיף, לצפות במתמטיקה כשהוא הפסיק (לרגע) להיות הגיוני.

1. גילוי מספרים לא הגיוניים

בית הספר לאתונה, המתאר בין כמעט כל פילוסוף יווני עתיק אפשרי, את פיתגורס בפינה השמאלית

כיוון שמקורות הקפדנות המתמטית טמונים ביוון העתיקה, המחשבה המתמטית החלה קרוב לאמונות הדתיות, ולפיכך יוחסו למספרים מאפיינים אלוהיים.

בית הספר לפיתגורס, צוות סמוי של מתמטיקאים מוקדמים שדחף את הידע המתמטי קדימה, כמו כל הכתות, היה מבוסס על כמה אמונות פונדמנטליסטיות. הם נדהמו מהיישום של יחסים על כל בעיה מעשית, הם האמינו שיחסים (כן, מספרים פשוטים מחולקים) הם אלוהיים, מכיוון שהם יכולים להסביר כל מה שקורה בעולם.

בהתאם לכך, כל מה שקורה בעולם צריך להיות מסוגל לבוא לידי ביטוי כיחס, נכון?

כעת, דמיין את הפתעתך כשגילו את השורש המרובע מספר 2, תוך יישום המשפט הפיתגורסי שנוסח לאחרונה. המספר הלא רציונאלי הזה (כלומר לא הגיוני שהוא לא יכול לבוא לידי ביטוי כיחס בין שני מספרים) תריס את הסדר העולמי כפי שבא לידי ביטוי באלוהות יחסים והטיל ספק בכל הפילוסופיה שלהם.

מבועתים מההשלכות של תגלית מהפכנית זו, הם החליטו לא לספר לאיש על כך. עוד נאמר שהם אפילו טבעו את האיש שעשה את התגלית, היפאסוס. מדעי שקט, אתה לא חושב?

2. אינסוף

הגילוי של מספרים לא הגיוניים, כשהוא כבר גרוע כמו שהיה, הביא את היוונים בפני תגלית אימתנית יותר: אינסוף. מכיוון שמספרים לא הגיוניים מאופיינים בכך שיש להם מספר אינסופי של ספרות עשרוניות, היוונים היו צריכים להמציא הסבר כיצד ניתן ליצור סדרת מספרים בלתי נגמרת. קשה להבין את הרעיון של האינסוף כיום, קל וחומר בעידן בו הדת הייתה קשורה למדע ואמונה מתמטית לא אמורה לאתגר את הבנתנו את האל. אז מה עשו היוונים? פילוסופים, כמו אריסטו ואפלטון, דחו את הרעיון של אינסוף מוחלט והממתמטיקאים גילו דרכים המצאות לעקוף את הצורך באינסוף בגיאומטריה, כמו אודוקסוס מקנידוס שפיתח את שיטת התשישות כדי לחשב את שטח הצורות. רק בסוף המאה ה -17 עודדו ניוטון ולייבניץ לקחת בחשבון את האינסוף באמצעות השימוש שלהם באינסופי-ים וג'ון וואליס הציג את הסמל הידוע של האינסוף בשנת 1655.

3. הפרדוקסים של זנו

היוונים בהחלט הלכו לקיצוניות בכל מה שקשור לחשיבה פילוסופית.

לאחר שקודמו הרקליטוס טען שכל דבר בעולם משתנה ללא הרף, פרמנידס טען ששום דבר לא משתנה. כתוצאה מכך, תנועה היא אשליה גרידא ולכן השימוש במתמטיקה, שפת האמת על פי היוונים, כדי לתאר אותה אמור להיות בלתי אפשרי.

זנו, אחד מתלמידיו של פרמנידס, המציא סדרה של פרדוקסים שמטרתם להוכיח את חוסר ההיגיון בתנועה. המפורסם ביותר, אכילס והצב שלו, הולך ככה: אכילס מירוץ נגד צב, שלאט לאט משמעותית מקבלים את היתרון להתחיל את המירוץ 100 מטר לפניו.

אם נניח, למען טלטול הפשטות, שהמהירות של שני המתמודדים היא קבועה ואכילס מהיר פי 10 מהצב, אז נוכל לומר שכאשר אכילס יגיע לנקודת המוצא של הצב, זה יעבור 10 מטרים. אז אכילס ינסה להדביק וכשהוא יגיע לנקודה הבאה הזו, הצב יעבור מטר נוסף.

בעיית המתמטיקה בתיכון זה, בהיותה פשוטה וברורה ככל שהיא, מובילה אותנו למסקנה הפרדוקסלית הבאה: אכילס לעולם לא יגיע לצב, לא משנה כמה הוא יהיה מהיר יותר. מזל טוב זינו, גרמת לתנועה להישמע לא הגיונית.

האמינו כי הפרדוקסים של זנו היו קיימים בתחום המטאפיזיקה והפילוסופים והמתמטיקאים הבעייתיים במשך עידנים, אך כיום ניתן להסביר אותם בעזרת חשבון, כלי מתמטי שלא היו בידי היוונים. בואו "נעבור" אז.

4. רצועת Möbius

רצועת Möbius מעשה ידיך

רצועת Möbius המצחיקה למראה, שהתגלתה גם באופן עצמאי בשנת 1858 על ידי הרישום המזלזל ששמו הותיר את ההיסטוריה של המתמטיקה ללא מגע, הוא משטח עם רק צד אחד וגבול אחד בלבד, המשמש לעיתים קרובות לתחביר סטודנטים צעירים במתמטיקה.

אתה יכול ליצור אותו בקלות על ידי לקיחת רצועת נייר, פיתולו ואז חיבור לקצוות הרצועה.

בהיותה הדוגמא הראשונה למשטח ללא כיוון, הוא לא טלטל את עקרונות המתמטיקה באותה מידה כמו שאר התגליות ברשימה זו, ובכל זאת הוא סיפק הרבה יישומים מעשיים, כמו חגורה עמידה, והעניקה למתמטיקאים השראה לבוא עם משטחים בלתי ניתנים להבחנה, כמו בקבוק קליין. (שמו של משטח זה בא אולי מצירוף מקרים כפול: קליין, הקונספטור שלו, כינה אותו במקור Fläche, שפירושו משטח בגרמנית ונשמע דומה לפלאש, שפירושו בקבוק. העובדה שהוא נראה כמו בקבוק נראה שיש אטם את שינוי השם).

5. אין ספירותו של קנטור במספרים אמיתיים

בהתמודדותו עם האינסוף שכבר היה דראג, הוכיח קנטור בשנת 1874 שלמעשה ישנם סוגים שונים של אינסוף. בפרט, כדי להוכיח את אי הספור של מספרים אמיתיים, הוכיח קנטור כי מערך זה גדול יותר מערך המספרים הטבעי שכבר היה אינסופי.

בשנת 1891 הוא גם סיפק את הטיעון האלכסוני, הוכחה אחת כל כך אלגנטית שאומצה מאוחר יותר ככלי להוכחה באמצעות פרדוקס. ההערה שלו הולידה את התיאוריה של מספרים קרדינליים, כמו גם פרדוקסים העוסקים בשאלה: כמה אינסוף אתה יכול להתמודד?

6. הפרדוקס של ראסל

ברטרנד ראסל היה מתמטיקאי, פילוסוף, לוגיקן, מתמטיקאי, היסטוריון, סופר, מבקר חברתי, פעיל פוליטי, ולדעתי, אישיות ששווה ללמוד ולהעניק לו השראה.

בשנת 1901 גילה ראסל נקודת תורפה בתיאור הסטים המבוסס עד כה של קנטור, מה שהוביל אותו לסתירה שהעולם המתמטי לא יכול היה לפקח עליהם. על פי תיאוריה זו, כל אוסף של דברים יכול להיות סט.

הדוגמה המנוגדת של ראסל, המכונה גם פרדוקס הברבר, הולכת כדלקמן: דמיין עיירה שיש לה שלטון מיוחד; כל אדם שלא מגולח בעצמו צריך להיות מגולח על ידי הספר בעיר. השאלה המביכה, שתוכלו לנסות לענות לעצמכם, היא: מי מגלח את הספר?

תגלית זו הובילה אותו לחקור את עצם היסודות של תורת הקבוצות הקודמת וליצור אחת חדשה, שהיתה מסובכת יותר מתורת התפאורה הצרמלו-פרנקל המאוחרת, שלא תפסה את עצמה.

7. משפטי חוסר השלמות של גודל

קורט גוטל הלוגיקן, המתמטיקאי והפילוסוף שזעזע את עקרונות המתמטיקה וההיגיון במאה ה -19.

אם נראה שהאירועים הקודמים יצרו רגעים מעט לא נוחים, חכו לצב המביך הבא (וזה גרוע מזה של אכילס).

אנחנו מדברים על המאה העשרים. אנשים לא סתם רצו לדעת. הם רצו לדעת אם אפשר לדעת, ולהוכיח זאת. למרבה המזל עבורם, והצורך האנושי בהבנת היקום, פרסמה גוטל בשנת 1931 שתי משפטים, הידועים כמשפטי הלא-שלמות.

הסבר הטכניקות שלהם קשה כמו לבחון את המסקנות שלהם, כפי שהוכיחה גודל כי בהתחשב במערכת עקבית ושלמה, כמו שפת החשבון, ישנן אמירות שהן אמיתיות ואינן ניתנות להוכחה. הוא האייר את אמיתות משפטו באמצעות אמירה פשוטה זו, בהשראת הפרדוקס של השקרן: "לא ניתן להוכיח אמירה זו". אם זה נכון, אז אמירה זו נכונה ואינה ניתנת להוכחה. אם זה שקר, ניתן להוכיח הצהרה זו, הסותרת את הטענה המקורית כי לא ניתן להוכיח אותה.

אלה היו חדשות רעות מאוד עבור המתמטיקה, שללו מהם את הזוהר המקורי שלהם מהסבר האמת המוחלטת. זה היה גם קאמבק נורא למסע החיפוש אחר הילברט, שבא לידי ביטוי בהצהרתו "עלינו לדעת, נדע".

משפט משפט הבלתי מוגדר של טרסקי

נראה כי טרסקי קיבל השראה מהייאוש שיצר גודל. בשנת 1936 הוא סיפק הוכחות לבעיית הבלתי מוגדרת.

למרות שהתצפיות שערך טרסקי כלולות גם ביצירתו של גודל, נטען שליצירתו של טרסקי השפעה פילוסופית עמוקה יותר. טרסקי הצליח להגיע למסקנה הכללית ששפה אינה יכולה להגדיר את האמת בפני עצמה. למרות שמדובר במגבלה חשובה, הוא מציע ששימוש בשפת-מטה חזקה יותר בכדי להגדיר אמת בשפה הפשוטה יותר.

עכשיו, אדם רגיל עשוי לחשוב שזה פותר את הבעיה, אבל עבור מתמטיקאי שמחפש את "השפה האחת לשלוט בכולם" זה לא כל כך מנחם.

9. בעיית ההפסקה

אלן טיורינג ניסה להתמודד עם בעיית ההחלטה, שבמילים פשוטות עסקה במציאת אלגוריתם שיכול לענות אם אמירה נכונה או לא. בכדי להתמודד עם הבעיה הפשוטה אך קשה לפתרון רעיונית זו, הוא ניסח אותה מחדש לבעיית העצירה: האם יש מכונה שיכולה לומר לך אם תוכנית תיפסק בבעיה נתונה?

עצירה פירושה שהיא לא תועבר לנצח. אבל איך מוכיחים את אי-יכולתו של מכונה שאתה יודע כל כך מעט עליה? זה המקום בו פרדוקסים מועילים.

אלן טיורינג החל בהנחת קיומה של מכונה שנתנה תוכנית קלט ובעיה עונה על השאלה האם היא תיפסק או לא. לאחר מכן הוא הגדיל את המכונה הזו על ידי לולאת הפלט שלה בחזרה לעצמה אם התשובה הייתה כן והפסקת אם התשובה הייתה לא.

אז האם המכונה המוגדלת תיפסק בבעיית ההפסקה? תשובתו של אלן היא: אם כן אז לא, אם לא אז כן. נשמע כמו חדשות רעות עבור ההיגיון.

10. משפט ארוחת הצהריים ללא חינם

המעבר למאה ה -21 סימן מעבר מתמטיקה טהורה, כמעט פילוסופית, לתחומים יישומיים, כמו סטטיסטיקה ואופטימיזציה.

אם אתה מחשיב את עצמך אוהב אופטימיזציה, אתה לא חושב שזה יהפוך אותך לפרפקציוניסט? והאם פרפקציוניסט לא ירצה למצוא את הדרך האופטימלית לייעל את הדברים?

נראה שדיוויד וולפרט וויליאם מקארדי הרגישו את הצורך הזה והגיעו עם תשובה, שכמובן לא הייתה מעודדת (אחרת היא לא תהיה ברשימה שלנו). על פי משפט ארוחת הצהריים ללא אופטימיזציה חופשית שלהם, שפורסם בשנת 1997, "כל שני אלגוריתמים לאופטימיזציה שווים כשמדובר בביצועים שלהם בכל הבעיות האפשריות."

שובר לב זה יכול להיות, זה לא אומר שאופטימיזציה היא חסרת תוחלת. לעולם לא נמצא דרך אופטימלית בדרך כלל לעשות זאת.

הרגעים הללו גרמו לעולם המתמטיקה להרגיש מביך, וזה מונח קל לתחושות הייאוש והכאוס שהמדענים נוטים לחוות כשהיקום מפסיק להיות הגיוני. אבל הלם הוא הדרך להניע את המדע קדימה.

נוצרו שדות מתמטיים, קיבלנו את מכונת טיורינג, משטחים מפוארים והכי חשוב, את היכולת לבחון מחדש את התפיסות שלנו ולהתאים את הכלים שלנו בהתאם.

רגעי התשאול הללו עזרו לנו להתפתח אינטלקטואלית.

למעט משפטי אי השלמות. אלה פשוט הרסו.